Empleo de Matlab para la resolución por el lugar de las raíces

Escrito por indusele 06-07-2014 en matlab. Comentarios (0)

El lugar de las raíces es el lugar geométrico de los polos y los ceros de una función de transferencia a medida que se varía la ganancia del sistema en un determinado intervalo. Es un método muy útil ya que permite determinar la posición de los polos de la función de transferencia en lazo cerrado a partir de una función de transferencia en lazo abierto. Por otro lado, va a ser útil para analizar sistemas dinámicos reales (sistema físico cuyo estado varía a lo largo del tiempo) y su estabilidad (el sistema es estable si todos sus polos se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s en el caso de sistemas continuos o dentro del círculo unitario del plano z para sistemas discretos).

Cuando un sistema dinámico no es estable emplearemos un esquema en lazo cerrado y un controlador que lo haga estable. Existen cuatro tipos de controladores o reguladores:

REGULADOR PROPORCIONAL SIMPLE

Se trata de un sistema de control proporcional con un sistema de control de realimentación lineal. En el algoritmo de control proporcional, la salida del controlador es proporcional a la señal de error, que es la diferencia entre el punto objetivo que se desea y la variable del proceso. En otras palabras, la salida de un controlador proporcional es el producto de la multiplicación de la señal de error y la ganancia proporcional.

REGULADOR PROPORCIONAL INTEGRAL (retraso de fase)

En estos reguladores el valor de la acción de control es proporcional a la integral de la señal de error, por lo que en este tipo de control la acción varía en función de la desviación de la salida y del tiempo en el que se mantiene la desviación. Dicho de otro modo, este controlador varía en razón proporcional al tiempo en que ha permanecido el error y la magnitud del mismo.

El inconveniente del controlador integral es que la respuesta inicial es muy lenta y, el controlador no empieza a ser efectivo hasta haber transcurrido un cierto tiempo. En cambio anula el error remanente que presenta el controlador proporcional.

REGULADOR PROPORCIONAL DERIVATIVO (adelanto de fase)

En estos reguladores el valor de la acción de control es proporcional a la derivada de la señal de error, por lo que en este tipo de control la acción varía en función de la desviación de la salida y del tiempo en el que se mantiene la desviación. Dicho de otro modo, mide la pendiente instantánea de la señal de error prediciendo lo grande que será el sobre impulso aplicando las correcciones apropiadas antes de que éste se presente.

Tiene la ventaja de que cada una de las tres acciones de control son individuales.

REGULADOR PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (retraso o adelanto de fase)

Como su nombre indica, será una combinación del resto; el valor proporcional determina la reacción del error actual. El integral genera una corrección proporcional a la integral del error, esto nos asegura que aplicando un esfuerzo de control suficiente, el error de seguimiento se reduce a cero. El derivativo determina la reacción del tiempo en el que el error se produce. La suma de estas tres acciones es usada para ajustar al proceso vía un elemento de control.

La resolución puede simplificarse en gran medida empleando las herramientas de Matlab. Normalmente, introduciendo la función de transferencia en lazo cerrado ya calculada y aplicando el comando rlocus la resolución es instantánea y de forma gráfica; sin embargo, el comando rltool puede resultar mucho más interesante dado que nos permite modificar la posición de los polos, introducir ceros, polos, ceros conjugados, polos conjugados... Os dejo un par de vídeos que he realizado para que observéis cómo sería la resolución en Matlab de un sistema que emplea un regulador PD y cómo se exportaría la nueva función del controlador diseñado según los requerimientos del sistema (tiempo de establecimiento, etc.) al espacio de trabajo.